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b(T)近似看作一个常数b0由此可知,在临界点附近,自发磁化强度与温度变化的关系为

其中,t的幂指数通常就被称为临界指数β。实验就可以通过测量临界点附近自发磁化强度与温度的变化关系来检验朗道连续相变理论。

实际上相变及其对称破缺是十分普遍的物理现象,赵凯华先生在他的《定性与半定量物理学》[2]6.2节中就指出了两个力学中对称破缺的例子,即一个倒装单摆和旋转摆。具体到本文讨论的铁钉稳定位形的问题,磁场中铁钉的势函数图6,9的(a)和(b)分别对应TTC及T

其中,ci是相应的展开系数,它们应该是a和L的函数。注意系统具有镜像对称性,因此关于θ的展开式只有θ偶次幂。当只考虑θ=0附近的行为时实际上只需要考虑前三项。当位置a固定,铁钉长度L较短时c20,此时稳定点就在θ0=0处,和图6对比知道此时V对应图6(a)在θ=0附近的势函数;但当L变长超过临界长度LC后c20势函数稳定点变为

铁钉最低点就分裂为两个点,此时当铁钉稳定后将会看到体系的导线铁钉系统不再是对称的,此时V对应图6(b)在θ=0附近的势函数,而临界长度就是图7的分叉点的位置。描述这个现象的势能函数应该依然是对称的。很自然地,我们也可以假设

其中,

与a,L无关。这样我们就可以判断在临界点附近

可以把图7中相变点(LC?0.57)附近的θ0(大于0的稳定点)和t取对数来验证以上结论。图13(a)展示了数值计算的结果,为了做对比,图上还画出了一个log(θ0/π)=-1.+0.5log(t)的直线。可以看出在过了临界点之后,在很大的范围内,稳定点θ0可以和t保持一个1/2的指数关系。读者也可以验证,其他情况如端点固定、反向电流等情况相变之后稳定点都会和相关的t保持一个1/2的指数关系。这说明以相变理论来理解这些现象是合适的。读者可以体会到朗道深邃的物理洞察力。从图7可以看出,在临界点附近稳定点的数值有一些涨落。我们需要知道这些涨落是数值计算误差造成的,并不是实际物理过程的涨落。但是当我们把相变理论应用到量子系统的时候,涨落就非常重要了。相变临界点相关系数的数值会因为量子修正而大大改变。比如上一小节单轴各向异性铁磁相变过程,实际临界指数β与1/2差别很大,我们可以利用量子场论的重整化理论来准确地计算β。这个过程比较复杂,详细计算就超出本文要讨论问题的范围,本文就不作讨论了。

除了可以确定铁钉系统的临界指数,我们还可以利用势函数式(18),式(20)是齐次函数的事实,即

分析铁钉临界长度LC和a及r的关系。从上文讨论可以明白铁钉临界长度只能依赖于r,a,根据量纲分析知道

其中,k1,k2是无量纲常数,应该只是与a/r有关。L0是带长度量纲的常数,由于整个系统势函数是齐次方程,L0=0,因此只有k1,k2需要确定。我们实际计算了同向电流铁钉中点固定时LC和a的关系,计算中取r=1[图13(b)]可以看出r=1时LC和a时线性依赖的关系。图13(b)的斜率就是k1,纵轴截距就是k2,可以计算得到k1=-0.,k2=0.。至此我们就基本完成了铁钉位形相变的讨论,可以看到,朗道连续相变理论可以非常准确地处理铁钉站立和倒下的情况,如果物理教材中以这个铁钉站立倒下问题来说明相变,这将是一个非常简单、直观的例子!

3结语

磁铁附近磁场中铁钉站立和倒下是一个常见的现象,但是理解这些现象并不是一个简单的问题。本文通过计算磁场中有限长度铁钉势函数,判断势函数稳定点的位置来判断铁钉指向的稳定位置。由于通常磁场很少有解析形式,我们利用无限长导线、平行无限长导线及圆环单流三种情况对磁场中有限长铁钉的稳定位形进行了深入分析。与通常教科书上讨论的利用铁屑演示磁感应强度方向不同的是,当铁钉长度超过某个临界长度的时候,势函数稳定点位置会发生改变。因此铁钉并不一定沿着当地某个磁感应强度方向指向。当考虑铁钉加入固有磁矩后,基本上清楚地解释了铁钉站立和倒下的原因,即随着在磁场中移动,铁钉所处位置由一个亚稳定点变成了一个非稳定点,铁钉随后就倒向了稳定点。而这个稳定点往往不是沿着某地磁场方向,而是一个相变之后偏离磁场方向的稳定位形。

势函数随长度变化的形式与场论、凝聚态理论中的相变过程非常类似,因此我们利用描述对称性破缺的朗道连续相变理论来分析相变之后稳定位形的具体规律。结果表明相变之后稳定位形与朗道连续相变理论预言的临界指数非常符合,这其实给了我们一个讲解朗道连续相变理论经典力学例子。通常场论中讲解朗道连续相变理论之后,不可避免地要说明朗道连续相变理论仅仅是定性相变现象,量子修正才能给出更准确的预言,严格符合朗道连续相变理论的现象只能从经典物理现象中寻找。铁钉的站立和倒下这样常见现象来解释相变理论,是非常有意思的,理论物理的抽象概念在经典物理世界找到对应,深刻体现了物理理论的美妙。

参考文献

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作者简介:王雯宇,男,北京工业大学研究员,主要从事理论物理的研究和教学工作,主要研究方向为高能物理,超出标准模型新物理,wywang

引文格式:张千,王雯宇,杨旭东.磁场中有限长铁钉稳定位形和相变[J].物理与工程,,32(6):34-45.

Citethisarticle:ZHANGQ,WANGWY,YANGXD.Thestableconfigurationsofafinitesizenailinamagneticfieldandthephasetransition[J].PhysicsandEngineering,,32(6):34-45.(inChinese)

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